 |
|
|||
|
Математическое моделирование в естественных науках >
Виртуальные лаборатории >
Нелинейные процессы (Java Applets) >
Параметрические колебания маятника >
Теоретическое введение
Что будет с колеблющейся системой, если ее параметры изменяются со временем и притом периодически? Представим себе, например, маятник с периодически меняющейся длиной или колебательный контур с периодически меняющейся емкостью. Другие параметры (индуктивность, коэффициент трения) также могут меняться периодически. В случае одной степени свободы уравнение имеет вид
справедливо и при переменной емкости C(t). Будем менять периодически расстояние между пластинами плоского конденсатора. Тогда
 .
Возьмем простой механический случай - прототип более сложных вещей. Масса m подвешена к упругому стержню. Она может колебаться в вертикальном направлении. Здесь уравнение движения будет  ,(6)
где k зависит от длины и материала стержня и от его сечения. 
Рис. 1 Если стержень (пусть это будет вал какой-нибудь машины) имеет эллиптическое сечение, то
и (8) принимает вид  . (9)
Получается такое же уравнение, что и для только что рассмотренного контура с конденсатором переменной емкости. В уравнениях (5) и (9) величины
Обозначив  и 
мы можем привести уравнения (5) и (9) к виду  .(10)
Это - частный случай уравнения (1); здесь, во-первых, p1(t) = 0 и, во-вторых, функция p2(t) синусоидальна. Рассмотрим движение математического маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания по закону . Для маятника это равносильно тому, что сила тяжести меняется по гармоническому закону  . При наличии затухания движение маятника описывается уравнением
 , то
Оно называется уравнением Матьё. Мы знаем, что решение уравнения (1) имеет вид  ,
где C1 и С2 - произвольный постоянные; l1 и l2 - постоянные, определяемые самим уравнением; Ф1(t) и Ф2(t) - периодические функции периода Вообще говоря, они комплексны: l1 = a1 + ib1 , l2 = a2 + ib2 . В зависимости от того, каковы значения параметров, входящих в уравнение, действительные части a1 и a2 могут быть отрицательными, равными нулю или положительными. Вообще говоря, l1 и l2 различны. В том специальном случае, когда они равны, имеется частное решение вида
 .
То, что С1 и С2 входят в решение линейно, типично для линейных уравнений. Если x = 0 и Если l1,2 - чисто мнимые, то решения периодические или почти периодические. Если величина a1 положительна, то (за исключением случая, когда С1 = 0 и a2 < 0) амплитуда величины x все больше и больше возрастает.Итак, положение равновесия всегда имеется, но равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В последнем случае система, будучи выведена из состояния равновесия, автоматически себя раскачивает. Это свойство - рост колебаний - придает всему явлению характер резонанса. Мы говорим при этом о параметрическом возбуждении или о параметрическом резонансе.При каких условиях наступает раскачивание, не так просто поддается вычислению. Физически дело сводится, грубо говоря, к следующему: возрастание колебаний происходит тогда, когда подобран правильный темп изменения параметра. Возьмем конденсаторную цепь. Будем менять емкость скачками. Пусть в некоторый начальный момент имеется маленький заряд q = q0, а тока нет ( ). Раздвинем в этот момент пластины конденсатора. Мы затрачиваем на это некоторую работу. Через ¼ периода заряд обращается в нуль, и в этот момент мы сведем пластины до прежнего расстояния. При этом никакой работы не совершается. Через ½ периода после начала опять имеется заряд, и мы снова разводим пластины, совершая работу; через ¾ периода мы опять их сводим, и т. д. Затрачиваемая нами работа должна увеличить запас электромагнитной энергии в контуре. Отсюда видно, что если раздвигать и сдвигать пластины с периодом, вдвое меньшим, чем средний собственный период контура, то непременно наступает раскачивание. Это - частный случай, его трудно вполне точно осуществить на практике. Но здесь ясно, как и почему происходит раскачивание. Что будет в остальных случаях, <на пальцах> показать довольно трудно. На этот вопрос дает ответ график (рис. 2), построенный для уравнения (10).
В заштрихованной части плоскости есть нарастание колебаний, в незаштрихованной части плоскости нарастания нет. Пусть относительная амплитуда изменения параметров постоянна:
С увеличением относительной амплитуды изменения параметра ширина каждой области частот p, в которой происходит нарастание, увеличивается. Итак, мы видим, что явление параметрического резонанса существенно отличается от обычного резонанса. Отличие состоит в том, что:1. Если система находится строго в положении равновесия, то п сгенерировано за 0.028884172439575 сек. назад | на главную | наверх |
|
, (1)
(2)
. (3)
,(4)
, (5)
, (7)
. (8)
,
, 
.
,
.
,
,
при t = 0, то С1 = 0 и С2 = 0. В этом случае x остается равным нулю при любом t. Таким образом, здесь совершенно другое положение, чем при обычном резонансе: если система в начале была в равновесии, то она остается в равновесии и в дальнейшем.
.
Математическое моделирование и информационные технологии в науке и образовании, 2004–2012