Автоколебания

Автоколебания – незатухающие колебания в диссипативных нелинейных системах, которые поддерживаются за счет внешнего источника энергии. Вид и свойства этих колебаний (частота, амплитуда, форма) определяются самой системой и не зависят от начальных условий. Характерная особенность автоколебаний – отсутствие внешнего периодического воздействия.

Схематично автоколебательную систему можно представить в виде источника энергии, осциллятора с затуханием и обратной связи (нелинейного элемента) (рис. 1).

Рис. 1. Схематичное изображение автоколебательной системы

Осциллятор сам регулирует поступление энергии от внешнего источника, что отличает автоколебания от вынужденных колебаний, когда внешний источник определяет, когда и сколько энергии передать осциллятору, задавая тем самым частоту, амплитуду, фазу и форму колебаний. При автоколебаниях, благодаря наличию нелинейного элемента обеспечивается согласование подачи энергии с работой осциллятора. Автоколебания окружают нас повсюду в природе и технике: часы, звучащая скрипичная струна или органная труба, бьющееся сердце – все эти системы совершают автоколебания.

Звучание скрипичной струны

Хорошо известно, что сила трения скольжения практически не зависит от скорости. Однако именно благодаря очень слабой зависимости силы трения от скорости звучит скрипичная струна. Качественный вид зависимости силы трения смычка о струну показан на рис. 2.

Рис. 2. Схематичное изображение зависимости силы трения скольжения от скорости

Благодаря силе трения покоя струна захватывается смычком и смещается из положения равновесия. Когда сила упругости превысит силу трения, струна оторвется от смычка и устремится к положению равновесия со все возрастающей скоростью. Скорость струны относительно движущегося смычка будет возрастать, сила трения увеличится и в определенный момент станет достаточной для захвата струны. Затем процесс повторится вновь. Таким образом, движущийся с постоянной скоростью смычок вызовет незатухающие колебания струны.

Механическая система

Рассмотрим систему, представленную на рис. 3. Брусок массы _m , лежащий на ленте транспортера, прикреплен к стене горизонтальными пружинами с коэффициентами жесткости _k/2 . Лента транспортера движется с постоянной скоростью _u . Между бруском и лентой действует сила трения скольжения.

Рис. 3. Автоколебания в системе с сухим трением

Эта модель может служить для описания колебаний скрипичной струны: лента – смычок, брусок с пружинами – струна. Запишем II закон Ньютона для бруска ma = -kx-rv+f . Первое слагаемое в правой части уравнения описывает силы упругости, второе – силу вязкого трения ( v – скорость бруска, r – коэффициент сопротивления), последнее слагаемое – сила трения скольжения, которая зависит от скорости бруска относительно ленты: . Будем полагать, что характер зависимости силы трения от относительной скорости соответствует рис. 2.

Силу трения можно представить в виде ряда, полагая, что относительные скорости не очень велики,

(1)

Ограничившись первыми двумя членами разложения, можно записать уравнение движения бруска в виде

,

где – смещение бруска из положения равновесия на ленте, , . Полученное уравнение формально ничем не отличается от уравнения затухающих колебаний. Однако декремент затухания в нашем случае может быть как положительным, так и отрицательным. Очевидно, что при отрицательном значении декремента затухания в системе возникнут нарастающие по экспоненте колебания. В этом случае говорят, что система с «отрицательным трением». Условием возбуждения в системе нарастающих колебаний является .

В линейной системе ничто не мешает экспоненциально увеличиваться амплитуде колебаний до бесконечности. Однако при больших амплитудах колебаний относительная скорость бруска становится большой и в разложении (1) уже нельзя ограничиваться только двумя первыми членами, то есть система становится нелинейной. Именно благодаря нелинейности в системе происходит установление колебаний конечной амплитуды.

Учет следующего слагаемого в разложении силы сопротивления (1) приводит к нелинейному уравнению. Учтем, что сила трения меняет знак при изменении направления движения тела, т.е. сила трения является нечетной функцией. Значит в разложении (1) могут присутствовать только нечетные степени.

.

С учетом использовавшихся ранее обозначений получаем

,

где .

сгенерировано за 0.031063795089722 сек.

назад | на главную | наверх