Сайт лаборатории
"Математическое моделирование и информационные технологии в науке и образовании"
УМС по прикладной математике и информатике
Конференция DROPS-2012
Семинар Percolation2011
Конференция MATLAB2009
Виртуальные лаборатории
Файловый архив
Электронные учебники
Разное
Полезные ссылки
Состав лаборатории
Об авторах
Контакты
статистика
Всего уникальных посетителей138490
Посетителей сегодня1
Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl+Enter


 

Рейтинг Астраханских Сайтов

Математическое моделирование в естественных науках > Виртуальные лаборатории > Нелинейные процессы (Java Applets) > Динамический хаос в простой механической системе > Теоретическое введение

Теоретическое введение

При падении мячика на неподвижную поверхность легко предсказать траекторию его движения, его поведение: сталкиваясь с поверхностью, он меняет направление своей скорости и, соответственно, движения на противоположное. Численная величина скорости при соударении меняется в зависимости от того, сколько кинетической энергии мячика рассеивается при соударении с поверхностью

Однако, движение перестаёт быть регулярным и предсказуемым в случае подвижной, колеблющейся, поверхности – возникает динамический хаос в системе «мячик – поверхность╗. Характер движения и поведение системы явно предсказать не удается: появляется зависимость от параметров колебаний самой поверхности. В такой ситуации численная величина скорости мячика после соударения будет зависеть еще и от скорости движения поверхности

При исследовании и моделировании данного процесса предполагается, что движение происходит в вертикальном направлении в постоянном гравитационном поле, движение мячика подчиняется законам Ньютона, движение поверхности происходит по синусоидальному закону гармонических колебаний. Масса мячика много меньше массы поверхности. При соударении мячика с поверхностью направление скорости мячика меняется на противоположное, а величина его скорости меняется в зависимости от скорости стола в момент соударения, скорости мячика до соударения и так называемого коэффициента восстановления состояния. Коэффициент восстановления может принимать значения от 0 до 1 и определяется свойствами материалов поверхности и мячика. Например, при коэффициенте восстановления, равном нулю, удар абсолютно неупругий. При коэффициенте восстановления, равном единице, что соответствует идеализированной ситуации, удар абсолютно упругий. Подробный анализ модели сделан N.B. Tuffilaro, T. Abbott, J. Reilly An experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison – Wesley Publishing Company, 1985.

Чтобы создать математическую модель системы «мячик – поверхность╗, учитывается, что масса поверхности намного больше, чем масса мячика, и столкновения между мячиком и поверхностью мгновенны. Эти допущения являются реалистичными и просто подразумевают, что столкновения с мячиком не влияют на дальнейшее движение поверхности. Удары обычно неупругие, то есть часть энергии рассеивается при каждом столкновении. Если же никакая часть энергии не рассеивается, то удар является абсолютно упругим.

Неподвижная поверхность.

Сначала необходимо выяснить, каким образом скорость мячика изменяется после каждого столкновения с поверхностью. Для этого рассмотрим две различные системы координат: пространственная система координат и система координат поверхности. Рассматривая обе эти системы координат, можно заметить, что они идентичны в случае неподвижной поверхности.

Пусть vk -  скорость мячика перед k-м столкновением, и пусть vk - скорость мячика сразу после k-го столкновения. Если поверхность неподвижна, и удар абсолютно упругий, то vk= -vk’ : мячик меняет направление движения, но не меняет абсолютную величину скорости, так как никакая часть энергии его движения не рассеивается. Если же удар неупругий, поверхность неподвижна, то скорость мячика измениться после удара, потому что некоторая часть его энергии теряется при столкновении: vk= - avk’ (0 1), где a - коэффициент восстановления. Коэффициент восстановления является мерой потери энергии при каждом столкновении и определяется свойствами материалов поверхности и мячика. Если  a = 1, то система консервативна, и удары абсолютно  упругие. Если  a = 0, то удар абсолютно  неупругий. Коэффициент восстановления строго меньше единицы для неупругих ударов.

Колеблющаяся поверхность.

Когда поверхность движется, скорость мячика после соударения с ней будет иметь дополнительное значение, получаемое от поверхности. Чтобы определить, как изменится скорость мячика в данном случае, исследуют движение мячика относительно поверхности. Это означает, что в системе координат поверхности поверхность является всегда неподвижной. При таком подходе мячик также при столкновении должен получать дополнительное значение скорости, которая является равносильной по отношению к пространственной системе координат. Следовательно, чтобы вычислить изменение скорости мячика можно вычислить изменение его скорости в системе координат поверхности и затем прибавить скорость поверхности, чтобы в итоге получить скорость мячика в пространственной системе координат. На  следующем рисунке показаны движение мячика и поверхности в системе координат поверхности и в пространственной системе координат.

 Пусть uk - скорость поверхности в пространственной системе координат от основания. Далее, пусть vk’ и vk - скорость в системе координат поверхности немедленно перед и после k-го столкновения соответственно. Тогда в системе координат поверхности:

,                                                                                                  (1)

так как поверхность всегда неподвижна. Чтобы найти скорость мячика в пространственной системе координат, мы должны прибавить скорость поверхности к скорости мячика,

,  

или, что эквивалентно,

,              .                                                              (2)

Используя уравнение (2), уравнение (1) переходит в следующее:

                                                                                   (3)

Переписав уравнение   (3), получим скорость vk после k-го столкновения:

                                                                                    (4)

Уравнение (4) известно как соотношение столкновения, что означает, что во время столкновения мячик  получает от поверхности [1 + a]uk  дополнительной скорости.

Столкновение между мячиком и поверхностью происходит, когда разность между высотой мячика и высотой поверхности равна нулю. Между столкновениями мячик движется вверх вниз согласно законам Ньютона для движения тела в постоянном гравитационном поле с ускорением свободного падения g. Пусть

                                                              (5)

будет высота мячика в момент времени t  после k-го столкновения, где xk – высота при k-м столкновении, и tk - время k-го столкновения, и пусть

                                                               (6)

высота поверхности с амплитудой A, угловой частотой w, и фазой q0  в момент времени t = 0. Мы прибавляем единицу к синусоидальной функции, чтобы гарантировать, что амплитуда колебаний поверхности всегда положительна. Разность в расстоянии между мячиком и поверхностью:

,                                                                                        (7)

которая должна быть всегда неотрицательной функцией, так как мячик не может находиться под поверхностью.

Отображение скорости получается из соотношения столкновения (4):

      (8)

Или, в фазовых переменных,

                  (9)

замечая, что скорость поверхности является производной по времени высоты поверхности,  , и что между столкновениями мячик двигается с ускорением свободного падения, поэтому его скорость определяется как vk – g(t – tk). 

Способы представления результатов движения мячика на вибрирующей поверхности.

Графически движение мячика может быть описано несколькими способами. Самый простой  - нанести на график высоту мячика и высоту поверхности, как функцию времени. Между столкновениями график вертикального перемещения мячика примет параболическую траекторию. Поверхность перемещается по синусоидальному закону гармонических колебаний. Если высоту мячика высчитывать на каждом шаге,

{x(t0), x(t1),…,x(ti),…,x(tn)},

то мы будем иметь серию высот мячика, где x(ti) - высота мячика в момент времени ti.

Другой способ представления движения мячика - нанести высоты мячика на вертикальной оси, а скорости мячика, соответствующие данным высотам, на горизонтальной оси, что является, по существу, представлением фазового пространства движения мячика.

Ещё один способ представления движения мячика – график, на котором изображена совокупность точек, координатами которых являются скорость мячика и фаза колебания поверхности при каждом столкновении. Это так называемое отображение столкновений. Отображение столкновений является компактным и абстрактным представлением движения. Вертикальная координата каждой точки - скорость мячика при столкновении, а горизонтальная координата – фаза колебания поверхности в момент столкновения. Данная фаза определяется следующим образом:

q = wt, w = 2p/T,  где Т – период одного колебания.

Литература:

1. N.B. Tuffilaro, T. Abbott, J. Reilly An experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison – Wesley Publishing Company, 1985.

сгенерировано за 0.04572582244873 сек.

назад | на главную | наверх

Новости лаборатории

2012-06-04 Текущие результаты  2012 года... подробнее



Исакова, Тарасевич, Юзюк Обработка и визуализация данных физических экспериментов с помощью пакета Origin

Тарасевич Информационные технологии в математике

Медицина в зеркале информатики

 

 

Математическое моделирование и информационные технологии в науке и образовании, 2004–2012