Цилиндрические функции

>

restart;

>	with(PDEtools); with(plots);

Warning, the name changecoords has been redefined

Запишем уравнение Бесселя

>	Z:=x^2*diff(y(v,x),x$2)+x*diff(y(v,x),x)+(x^2+v^2)*y(v,x)=0;

найдем его решение

>	z1:=pdsolve(Z);

видим, что решения дифференциального уравнения Бесселя (Z) называются цилиндрическими, или бесселевыми функциями.Здесь x вещественная или комплексная переменная, а v вещественный или комплексный пареметр.  

>	J:=(v,x)->sum((((-1)^k)/(factorial(k)*GAMMA(k+v+1))*((x/2)^(2*k+v))),k=0..infinity); J1:=(v,x)->sum(((-1)^k)*(((-1)^k)/(factorial(k)*GAMMA(k+v+1))*((x/2)^(2*k+v))),k=0..infinity);

В MAPLE существуют встроенные функции BesselJ и BesselY (функции Бесселя 1 и 2 рода). Построим их графики с помощью специальных команд.

>	plot([J(0,x),J(1,x),J(2,x)],x=0..10,y=-1..1,color=[red,blue,green]); plot([BesselJ(0,x),BesselJ(1,x),BesselJ(2,x)],x=0..10,y=-1..1,color=[red,blue,green]);

>	animate(J(v,x),x=0..10,v=0..4,frames=40); animate(BesselJ(v,x),x=0..10,v=0..4,frames=40);

>	plot3d(J(v,x),x=0..10,v=0..5); plot3d(BesselJ(v,x),x=0..10,v=0..5);

>	animate3d(J(v,x)*t,x=0..10,v=0..4,t=0.1..1,frames=15); animate3d(BesselJ(v,x)*t,x=0..10,v=0..4,t=0.1..1,frames=15);

>

>	plot([J1(1,x),J1(2,x),J1(3,x),J1(4,x)],x=-5..5);

>	plot([BesselI(1,x),BesselI(2,x),BesselI(3,x),BesselI(4,x)],x=-5..5,y=-1..1);

>	N:=(v,x)->(1/sin(Pi*v))*(J(v,x)*cos(Pi*v)-J1(v,x)); v<>0;

>	plot([BesselY(1,x),BesselY(2,x),BesselY(3,x)],x=-1..10,y=-3..1,color=[red,blue,green]);

Сферические функции

>

restart;

>	with(PDEtools): with(DEtools):

>	PDE:=diff(u(r,theta,phi),r$2)+(2/r)*diff(u(r,theta,phi),r)+(1/r^2)*(diff(u(r,theta,phi),theta$2)+cot(theta)*diff(u(r,theta,phi),theta))+1/((r^2)*(sin(theta))^2)*(diff(u(r,theta,phi),phi$2))=0;

>	a1:=pdsolve(PDE);

>	t1:=_c2=mu; t2:=_c1=lambda; t3:=_F1(r)=R(r); t4:=_F2(theta)=Theta(theta); t5:=_F3(phi)=Phi(phi);

>	a3:=subs({t1,t2,t3,t4,t5},a1); a3;

>	a2:=dchange(theta=arccos(x),a1);

>

a2;

>

>	pde1:=(1-x^2)*(diff(Theta(theta),x$2))-2*x*(diff(Theta(theta),x))+lambda*Theta(theta)=0;

>

>	P:=(n,x)->(1/((2^n)*(factorial(n))))*(diff(((x^2-1)^n),x$n));

>	plot([P(1,x),P(2,x),P(3,x),P(4,x),P(5,x)],x=-1.1..1.1,y=-1.1..1.1);

>

>	plot([LegendreP(1, x),LegendreP(2, x),LegendreP(3, x),LegendreP(4, x),LegendreP(5, x)],x=-1.1..1.1,v=-1.1..1.1);

>

>	Pr:=(n,m,x)->((x^2-1)^(m/2))*diff(P(n,x),x$m); n=0..n;

>	plot([Pr(3,3,x),Pr(2,2,x),Pr(1,1,x),Pr(4,2,x)],x=-2..2,Pr=-3..3,color=[red,blue,green,black]);

>	plot([LegendreP(3,3, x),LegendreP(2,2,x),LegendreP(1,1, x),LegendreP(4,2,x)],x=-2..2,LegendreP=-3..3,color=[red,blue,green,black]);

>

Полиномы Лежандра

>	plot({LegendreP(0,x),LegendreP(1,x),LegendreP(2,x),LegendreP(3,x),LegendreP(4,x)},x=0..1);

>	plot({LegendreQ(0,x),LegendreQ(1,x),LegendreQ(2,x),LegendreQ(3,x),LegendreQ(4,x)},x=1.5..5);

Функция ошибки

функция оштбки (erf(x)) определяется:

>	u:=x->2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x);

Дополнительная функция ошибки (erfc(x)) определяется как

>	u1:=x-> 1 - erf(x);

>	u1_1:=x-> 1 - 2/Pi^(1/2) * int(exp(-t^2), t=0..x);

Повторенные интегралы дополнительной функции ошибки определены (erfc(n, x))

>	u2:=(n, x)-> int(erfc(n-1,t), t=x..infinity);   n >= 0;

Воображаемая функция ошибки(erfi(x)) определена следующим образом

>	u3:=x->-I*erf(I*x) = 2/sqrt(Pi) * int(exp(t^2), t=0..x);

Все эти функции являются целыми.

постоим их графики

>	plot(u(x),x=-3..3); plot(erf(x),x=-3..3);

>	plot(erfc(x),x=-3..3);

>	plot({erfc(0,x), erfc(1,x), erfc(2,x), erfc(3,x)}, x=-3..2);

>	plot(erfi(x),x=-2..2);

Формула Даламбера

  Метод Фурье

>

restart;

>	with(PDETools):

Задаем дифференциальное уравнение - уравнение теплопроводности.

>	PDE:=diff(u(x,t),t)-diff(u(x,t),x$2);

Указываем правило, по которому будет произведена замена независимых переменных и функции.

>	tr:={x=eta*sqrt(tau),t=tau,u(x,t)=U(eta)};

С помощью функции dchange преобразуем дифференциальное уравнение.

>	PDEA:=dchange(tr,PDE,params=a,simplify);

С помощью функции  dsolve решаем полученное дифференциальное уравнение.

>	SOLD:=dsolve(PDEA);

Выполняем обратное преобразование.

>	trback:={eta=x/sqrt(t),tau=t,U(eta)=u(x,t)};

>	SOLD1:=dchange(trback,SOLD);

>	SOLD2:=subs(_C1=0,_C2=1,rhs(SOLD1));

>	u:=unapply(SOLD2,x,y);

>	plot3d(u(x,t),x=0.0..1,t=0.0..1);

>

  Теплопроводность в бесконечном стержне

Рассмотрим процесс распространения тепла в бесконечном стержне. Для этого решается однородное уравнение

с начальным условием

.

>	restart;with(PDETools):

>

Однородное уравнение и его решение методом разделения переменных :

>	PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x); struc:=pdsolve(PDE,HINT=T(t)*X(x));

>	dsolve(diff(T(t),t)=_c[1]*T(t)); dsolve(diff(X(x),`$`(x,2))=_c[1]*X(x)/a^2);

Сделаем замену постоянной разделения переменных:

 = = -

>	dsolve(diff(T(t),t)=-lambda^2*T(t)*a^2); dsolve(diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x));

В результате общее решение имеет вид:

>	u(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);

Функция  - есть решение уравнения для любого  (где  - непрерывно меняющейся параметр со значениями в интервале от -  до + ), причем для каждого  будут соответствующие коэффициенты    и .

Поэтому имеем:

>	u[lambda](t,x):=(C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);

В результате решение линейного обнородного уравнения можно представить в виде суперпозиции решений, зависящих от  параметра :

>	u(t,x):=int(u[lambda](t,x), lambda=-infinity..infinity);

Для определения коэффициентов    и  воспользуемся начальными условиями:

>	u_0(t,x):=eval(subs(t=0, u(t,x)))=f(x);

Это выражение соответсвует разложению функции  в интеграл Фурье:

>	f(x)=(1/(2*Pi))*int(int(f(xi)*cos(lambda*(xi-x)),xi=-infinity..infinity),lambda=-infinity..infinity);

Значит, коэффициенты  и  выражаются:

>	C1(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*sin(lambda*xi),xi=-infinity..infinity); C2(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*cos(lambda*xi),xi=-infinity..infinity);

>	u(t,x):=int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda = -infinity .. infinity); u(t,x):=combine(int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda = -infinity .. infinity));

Полученное выражение можно преобразовать.

Для этого рассмотрим интеграл:

>	int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi), lambda = -infinity .. infinity);

Сделаем замену переменной и преобразование подинтегральной функции:

>	simplify(subs({xi=-v*a*t^(1/2)+x,lambda=w/(a*sqrt(t))},exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi)));

>	Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda = -infinity .. infinity)=(1/(a*sqrt(t)))*int(exp(-w^2)*cos(w*v),w = -infinity .. infinity);

>	Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda=-infinity..infinity)= subs(v=(x-xi)/a/t^(1/2),1/a/t^(1/2)*Pi^(1/2)*exp(-1/4*v^2));

В результате решение примет вид:

>	u(t,x):=(1/(2*a*sqrt(Pi*t)))*int(f(xi)*exp(-1/4*(x-xi)^2/a^2/t),xi = -infinity .. infinity);

  Теплопроводность в полубесконечном стержне

Рассмотрим процесс распространения тепла в полубесконечном стержне. Для этого решается однородное уравнение

с начальным условием

и граничным условием:

1. Конец стержня  в точке  теплоизолирован:

.

или

2. Конец стержня  в точке  поддерживается при постоянной температуре:

>

restart;

Однородное уравнение и его решение методом разделения переменных :

>	PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x); struc:=pdsolve(PDE,HINT=T(t)*X(x));

>	dsolve(diff(T(t),t)=_c[1]*T(t)); dsolve(diff(X(x),`$`(x,2))=_c[1]*X(x)/a^2);

Сделаем замену постоянной разделения переменных:

 = = -

>	dsolve(diff(T(t),t)=-lambda^2*T(t)*a^2); dsolve(diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x));

В результате общее решение имеет вид:

>	u(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);

Функция  - есть решение уравнения для любого  (где  - непрерывно меняющейся параметр со значениями в интервале от -  до + ), причем для каждого  будут соответствующие коэффициенты    и .

Поэтому имеем:

>	u[lambda](t,x):=(C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);

В результате решение линейного обнородного уравнения можно представить в виде суперпозиции решений, зависящих от  параметра :

>	u(t,x):=int(u[lambda](t,x), lambda=-infinity..infinity);

Для определения коэффициентов    и  воспользуемся начальными условиями:

>	u_0(t,x):=eval(subs(t=0, u(t,x)))=f(x);

Это выражение соответсвует разложению функции  в интеграл Фурье:

>	f(x)=(1/(2*Pi))*int(int(f(xi)*cos(lambda*(xi-x)),xi=-infinity..infinity),lambda=-infinity..infinity);

Значит, коэффициенты  и  выражаются:

>	C1(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*sin(lambda*xi),xi=-infinity..infinity); C2(lambda):=(1/(2*Pi))*int(f(xi)*cos(lambda*xi),xi=-infinity..infinity);

>	u(t,x):=int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda = -infinity .. infinity); u(t,x):=combine(int((C1(lambda)*sin(lambda*x)+C2(lambda)*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t),lambda = -infinity .. infinity));

Error, (in depends/internal) too many levels of recursion

Полученное выражение можно преобразовать.

Для этого рассмотрим интеграл:

>	int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi), lambda = -infinity .. infinity);

Сделаем замену переменной и преобразование подинтегральной функции:

>	simplify(subs({xi=-v*a*t^(1/2)+x,lambda=w/(a*sqrt(t))},exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi)));

>	Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda = -infinity .. infinity)=(1/(a*sqrt(t)))*int(exp(-w^2)*cos(w*v),w = -infinity .. infinity);

>	Int(exp(-lambda^2*a^2*t)*cos(-lambda*x+lambda*xi),lambda=-infinity..infinity)= subs(v=(x-xi)/a/t^(1/2),1/a/t^(1/2)*Pi^(1/2)*exp(-1/4*v^2));

В результате решение примет вид:

>	u(t,x):=(1/(2*a*sqrt(Pi*t)))*int(f(xi)*exp(-1/4*(x-xi)^2/a^2/t),xi = -infinity .. infinity);

В случае полубесконечного стержня необходимо учесть граничное условие в точке .

1 . Конец стержня  в точке  теплоизолирован:

.

В этом случае  необходимо продолжить на отрицательную полуось четным образом:

 = .

>	u_x(t,x):=diff(u(t,x),x);

Сделаем замену переменной:

>	u0_x:=subs(x=0,u_x(t,x));

Здесь подинтегральная функция нечтна; поэтому интеграл равен нулю и граничное условие в точке  выполнено.

При этом решение может быть записано в виде:

>	u(t,x):=1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(f(xi)*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)+exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi=-infinity..infinity);

2 . Конец стержня  в точке  поддерживается при постоянной температуре ( ):

.

Для решения этой задачи преобразуем граничное условие к однородному :

>	U(t,x)=u(t,x)-T0; F(x)=f(x)-T0;

При этом  необходимо продолжить на отрицательную полуось нечетным образом:

 = .

В этом случае решение задачи - функция:

>	U(t,x):=1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int(F(xi)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi = -infinity .. infinity);

В результате имеем:

>	F(xi):=f(xi)-T0; u(t,x):=T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi)+T0)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi = -infinity .. infinity);

Учитывая нечетность функции , получаем:

>	u(t,x):=T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi)-T0)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi = -infinity .. 0)+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi)-T0)*exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t),xi = 0 .. infinity);

или

>	u(t,x):=T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi))*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)-exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi=0..infinity)-T0*Integr;

где:

>	Integr:=1/2/a/(Pi*t)^(1/2)*Int((T0)*exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t),xi = -infinity .. 0)-1/2/a/(Pi*t)^(1/2)*Int((T0)*exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t),xi = 0 .. infinity);

Для вычисления этих интегралов сделаем замены:

, .

>	subs(xi=x-2*a*t^(1/2)*y,exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)); subs(xi=-x+2*a*t^(1/2)*y,exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t));

>	I1:=simplify((1/a/(Pi*t)^(1/2))*int(exp(-y^2),y = -infinity .. x/(2*a*t^(1/2)))*2*a*t^(1/2))/2; I2:=simplify((1/a/(Pi*t)^(1/2))*int(exp(-y^2),y = x/(2*a*t^(1/2)) ..infinity)*2*a*t^(1/2))/2;

>	Integr:=simplify(I1-I2);

Таким образом, имеем:

>

>	u(t,x):=collect(T0+1/2*1/a/(Pi*t)^(1/2)*int((f(xi))*(exp(-1/4*(-xi+x)^2/a^2/t)-exp(-1/4*(xi+x)^2/a^2/t)),xi=0..infinity)-T0*Integr,T0);

  Теплопроводность в конечном стержне

Рассмотрим процесс распространения тепла в полубесконечном стержне. Для этого решается однородное уравнение

с начальным условием

и граничными условиями:

(  - коэффициент теплопроводности,  и  - коэффициенты теплообмена на концах стержня,    и  - темпетатуры на концах стержня).

>

restart;

Однородное уравнение и его решение методом разделения переменных :

>	PDE:=diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x); struc:=pdsolve(PDE,HINT=T(t)*X(x));

>	dsolve(diff(T(t),t)=_c[1]*T(t)); dsolve(diff(X(x),`$`(x,2))=_c[1]*X(x)/a^2);

Сделаем замену постоянной разделения переменных:

 = = -

>	dsolve(diff(T(t),t)=-lambda^2*T(t)*a^2); dsolve(diff(X(x),`$`(x,2))=-lambda^2*X(x));

В результате общее решение имеет вид:

>	u(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);

>

restart;

Начальное условие имеет вид:

:

Граничные условия имеют вид (  - коэффициент теплопроводности,  и  - коэффициенты теплообмена на концах стержня,    и  - темпетатуры на концах стержня)

>	k*diff(u(t,x),x)=h1*(u(t,x)-T1); -k*diff(u(t,x),x)=h2*(u(t,x)-T2);

Чтобы применить метод Фурье, необходимо свести исходную задачу к случаю однородных граничных условий.

Для этого введем функцию :

>	u(t,x):=U(t,x)+kappa+sigma*x;

Здесь  и  - постоянные коэффициенты.

>	u_x(t,x):=diff(u(t,x),x);

>	u_x(t,x) := U_x(t,x) +sigma;

Гричные условия при этом запишутся:

>	subs(x=0,k*u_x(t,x)=h1*(u(t,x)-T1)); subs(x=L,-k*u_x(t,x)=h2*(u(t,x)-T2));

Поскольку для  предполагаются однородные граничные условия, получаем:

>	k*sigma=h1*(kappa-T1); -k*sigma=h2*(kappa+sigma*L-T2);

Отсюда имеем:

>	solve({k*sigma=h1*(kappa-T1),-k*sigma=h2*(kappa+sigma*L-T2)},{kappa,sigma});

В этом случае граничные условия для  действительно примут вид однородных:

>

simplify(subs({x = 0, kappa = (k*h2*T2-k*h1*T1+h2*L*h1*T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1), sigma = -h1*h2*(-T2+T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1)},(U_x(t,0)+sigma-h1*(U(t,0)+kappa-T1)/k)*k = 0)); simplify(subs({x = 0, kappa = (k*h2*T2-k*h1*T1+h2*L*h1*T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1), sigma = -h1*h2*(-T2+T1)/(k*h2-k*h1+h2*L*h1)},(U_x(t,L)-sigma+h2*(U(t,L)+kappa+sigma*L-T2)/k)*k = 0));

Начальное условие для  запишется:

>	u(t,x):=U(t,x)+kappa+sigma*x; subs(t=0,u(t,x)=f(x));

или

>	F(x)=f(x)-kappa-sigma*x; subs(t=0,U(t,x)=F(x));

При этом функция  удовлетворяет тому же уравнению, что и :

>	u(t,x):=U(t,x)+kappa+sigma*x; diff(u(t,x),t)=a^2*diff(u(t,x),x,x); diff(U(t,x),t)=a^2*diff(U(t,x),x,x);

Поэтому для функция  общее решение имеет вид:

>	U(t,x):=(C1*sin(lambda*x)+C2*cos(lambda*x))*exp(-lambda^2*a^2*t);

>	U_x(t,x):=diff(U(t,x),x);

Учтем однородные граничные условия для :

>	eval(subs(x=0,U(t,x)*k=h1*U_x(t,x))); eval(subs(x=L,U(t,x)*k=-h2*U_x(t,x)));

>	solve(C2*k=h1*C1*lambda,C1); solve(C1*sin(lambda*L)+C2*cos(lambda*L)*k=-h2*(C1*cos(lambda*L)*lambda-C2*sin(lambda*L)*lambda),C1);

Отсюда имеем уравнение, определяющее :

>	k/h1/lambda=-(cos(lambda*L)*k-h2*sin(lambda*L)*lambda)/(sin(lambda*L)+h2*cos(lambda*L)*lambda);

>	k/h1/lambda = -(k-h2*tan(lambda*L)*lambda)/(tan(lambda*L)+h2*lambda);

>	solve(k/h1/lambda = -(k-h2*G*lambda)/(G+h2*lambda), G);

>	tan(lambda*L)=-k*lambda*(h1+h2)/(k-h1*lambda^2*h2);

Рассмотрим несколько режимов.

1.   Концы стержня в одинаковом режиме; концы стержня теплоизолированы:

>

restart;

>	subs({h1=0, h2=0},tan(lambda*L) = -k*lambda*(h1+h2)/(k-h1*lambda^2*h2));

2. Концы стержня в одинаковом режиме; температуры на концах постоянны:

>	restart; limit(limit(tan(lambda*L) = -k*lambda*(h1+h2)/(k-h1*lambda^2*h2), h1=infinity), h2=infinity);

Значит, при одинаковых режимах на концах стержня  удовлетворяет уравнению:

.

Откуда получаем:

>	_EnvAllSolutions := true: solve(tan(lambda*L)=0,lambda);

или, в обычном виде,

>	lambda=Pi*n/L;

3. Концы стержня в разных режимах; один конец стержня теплоизолирован, температура на втором конце постоянна:

>	restart; limit(tan(lambda*L) = -k*lambda*(h1+h2)/(k-h1*lambda^2*h2), h1=0);

При h2 -->  имеем:  

>	cot(lambda*L)=0;

>	_EnvAllSolutions := true: solve(cot(lambda*L)=0,lambda);

или, в обычном виде,

>	lambda=1/2*Pi*(1+2*n)/L;

Для симметричного случая результат аналогичен.

Таим образом, общее решение для , соответствующее параметру  имеет вид:

>	restart; U[n](t,x):=(C1[n]*sin(lambda[n]*x)+C2[n]*cos(lambda[n]*x))*exp(-lambda[n]^2*a^2*t);

Теперь определим коэффициенты и выпишем общие решения.

1.   Концы стержня в одинаковом режиме; концы стержня теплоизолированы:

>

restart;

>	lambda[n]:=Pi*n/L; U[n](t,x):=(C1[n]*sin(lambda[n]*x)+C2[n]*cos(lambda[n]*x))*exp(-lambda[n]^2*a^2*t); U_x[n](t,x):=diff(U[n](t,x),x);

>	eval(subs(x=0,U_x[n](t,x)*k=0)); eval(subs(x=L,U_x[n](t,x)*k=0));

>	simplify((C1[n]*cos(Pi*n)*Pi*n/L-C2[n]*sin(Pi*n)*Pi*n/L)*exp(-Pi^2*n^2/L^2*a^2*t)*k = 0) assuming n::integer;

Откуда:

>	U[n](t,x):=C2[n]*cos(lambda[n]*x)*exp(-lambda[n]^2*a^2*t);

Общее решение имеемт вид:

>	U(t,x):=sum(U[n](t,x), n=0..infinity);

>	eval(subs(t=0,U(t,x)=F(x)));

Поэтому коэффициенты  определяются согласно формулам преобразования Фурье:

>	C2[n]:=(2/L)*int(F(xi)*cos(Pi*n/L*xi), xi=0..L);

Выпишем общее решение.

>	F(xi):=f(xi); U(t,x):=sum(C2[n]*cos(Pi*n/L*x)*exp(-Pi^2*n^2/L^2*a^2*t),n=0..infinity);

Таким образом, общее решение имеет вид:

>	u(t,x):=subs(F(xi)=f(xi),U(t,x));

2.   Концы стержня в разных режимах.

>

restart;

>	lambda[n]:=Pi*n/L; U[n](t,x):=(C1[n]*sin(lambda[n]*x)+C2[n]*cos(lambda[n]*x))*exp(-lambda[n]^2*a^2*t);

>	eval(subs(x=0,U[n](t,x)*k=0)); eval(subs(x=L,U[n](t,x)*k=0));

>	simplify((C1[n]*sin(Pi*n)+C2[n]*cos(Pi*n))*exp(-Pi^2*n^2/L^2*a^2*t)*k = 0) assuming n::integer;

Откуда:

>	U[n](t,x):=C1[n]*sin(lambda[n]*x)*exp(-lambda[n]^2*a^2*t);

Общее решение имеемт вид:

>	U(t,x):=sum(U[n](t,x), n=0..infinity);

>	eval(subs(t=0,U(t,x)=F(x)));

Поэтому коэффициенты  определяются согласно формклам преобразования Фурье:

>	C1[n]:=(2/L)*int(F(xi)*cos(Pi*n/L*xi), xi=0..L);

Выпишем общее решение.

>	F(xi):=f(xi); U(t,x) := sum(C1[n]*sin(Pi*n/L*x)*exp(-Pi^2*n^2/L^2*a^2*t),n =0.. infinity);

Таким образом, общее решение имеет вид:

>	u(t,x):=U(t,x);

3.   Концы стержня в разных режимах.

>

restart;

>	lambda[n]:=1/2*Pi*(1+2*n)/L; U[n](t,x):=(C1[n]*sin(lambda[n]*x)+C2[n]*cos(lambda[n]*x))*exp(-lambda[n]^2*a^2*t); U_x[n](t,x):=diff(U[n](t,x),x);

>	eval(subs(x=0,U_x[n](t,x)*k=0)); eval(subs(x=L,U[n](t,x)*k=0));

>	simplify((C1[n]*sin(1/2*Pi*(1+2*n))+C2[n]*cos(1/2*Pi*(1+2*n)))*exp(-1/4*Pi^2*(1+2*n)^2/L^2*a^2*t)*k = 0) assuming n::integer;

Откуда:

>	U[n](t,x):=C2[n]*cos(lambda[n]*x)*exp(-lambda[n]^2*a^2*t);

Общее решение имеемт вид:

>	U(t,x):=sum(U[n](t,x), n=1..infinity);

>	eval(subs(t=0,U(t,x)=F(x)));

Поэтому коэффициенты  определяются согласно формклам преобразования Фурье:

>	C2[n]:=(2/L)*int(F(xi)*cos(1/2*Pi*(1+2*n)/L*xi), xi=0..L);

Выпишем общее решение.

>	h1:=0; sigma:= -h1*h2*(-T2+T1)/(k*h2+k*h1+h2*L*h1); kappa:= limit((k*h2*T2+k*h1*T1+h2*L*h1*T1)/(k*h2+k*h1+h2*L*h1), h2=infinity); F(xi):=f(xi)-kappa-sigma*xi; U(t,x) := sum(C2[n]*cos(1/2*Pi*(1+2*n)/L*x)*exp(-1/4*Pi^2*(1+2*n)^2/L^2*a^2*t),n =0..infinity);

Таким образом, общее решение имеет вид:

>	u(t,x):=U(t,x)+kappa+sigma*x;