Задача 2
Дан тонкий однородный стержень 0<x<l, боковая поверхность которого теплоизолирована.
Найти распределение температуры u(x,t) в стержне, если концы стержня теплоизолированы, а
Решить однородное уравнение
с граничным условием второго типа и начальным условием
Решение
Решать текущий пример будем тем же методом, что и первую задачу.
Задаем начальные и граничные условия:
Решим уравнение при помощи функции pdsolve
(1.2.1) |
Выделим второе уравнение
(1.2.2) |
(1.2.3) |
Сделаем замену переменной
(1.2.4) |
Введем ораничение на и решим уравнение s1
(1.2.5) |
преобразуем наше уравнение в функцию
(1.2.6) |
Найдем производную
(1.2.7) |
Найдем постоянные и из начальных условий:
(1.2.8) |
(1.2.9) |
Составим систему из полученных уравнений
(1.2.10) |
Запишем матрицу коэффициентов системы при помощи команды linarg[genmatrix]
(1.2.11) |
Вычислим определитель при помощи
(1.2.12) |
Для получения всех решений уравнений, содержащих периодические функции, следует присвоить переменной _EnvAllSolutions значение true. В противном случае, по умолчанию функция solve выдаст только одно решение. При помощи команды solve решим полученное выражение относительно.
(1.2.13) |
(1.2.14) |
Ограничим значение переменной k и заменим переменную λ в уравнении eq1 на функцию ev(k):
(1.2.15) |
Найдем производную и решим уравнение ur при помощи команды dsolve:
(1.2.16) |
(1.2.17) |
(1.2.18) |
(1.2.19) |
Возьмем второе уравнение из уравнения res1:
(1.2.20) |
Заменим на -ev(k) в уравнении eq2
(1.2.21) |
Решим уравнение eq2 при помощи команды dsolve:
(1.2.22) |
Общее решение уравнения представляет из себя линейную комбинацию всех частных решений.
(1.2.23) |
Из начального условия найдем неизвестные коэффициенты
Получили разложение функции в ряд Фурье по косинусам. Вычислим коэффициенты разложения:
(1.2.24) |
(1.2.25) |
Построим график функции u(x,t)
Построим график функции u(x,t) в начальный момент времени
Построим график по начальному условию:
В случае с функцией u(x,t) мы можем наблюдать явление Гиббса. Если функция f(x) - кусочно-гладкая на отрезке [-, ] , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если S(x)= - сумма ряда Фурье, то для любого xϵ[-, ] S(x)=. То есть, если f(x) непрерывна в точке , то S() =f(). Если в точке у f(x) разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке . В окрестности точек непрерывности функции f(x) разность между значением функции в точке и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при n , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае . В окрестности точек разрыва f(x) частичные суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Оно состоит в том, что для некоторых функций в точке ее скачка существуют такие значения a, что Это не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел , а в теории v .
Построим график функции u(x,t) в разный момент времени.
Построим анимированный график: