Вывод уравнения sin-Гордона

Покажем на простейшем примере, как появляются нелинейные уравнения математической физики.

Рассмотрим цепочку одинаковых маятников, нанизанных на струну и связанных пружинкам (рис. 1).

Будем обозначать массу маятника , его момент инерции - , длину - , постоянную кручения пружин - , расстояние между маятниками (длину пружин) - . При отклонении -го маятника из положения равновесия на угол на маятник действует момент силы тяжести и момент силы кручения со стороны соседних пружин и . Уравнение движения маятника имеет вид

(1)

Введем обозначения

тогда

(2)

Если вывести один из маятников из положения равновесия, то он начнет совершать колебания. Благодаря наличию упругой связи между маятниками (пружин), эти колебания передадутся соседним маятникам - по цепочке начнет распространяться волна. Будем полагать, что длина волны много больше расстояния между маятниками ( ). Тогда можно ввести функцию , описывающую эту волну, и сделать замену

Получаем уравнение синус-Гордона

В качестве первого шага при исследовании нелинейных волновых уравнений часто ищут решения в виде стационарных бегущих волн, то есть волн, форма которых не зависит от времени.

Найдем солитонное решение уравнение синус-Гордона. Замена приводит к уравнению

Рассмотрим случай . Тогда

где

Солитону соответствует движение по сепаратрисе, то есть когда полная энергия системы равна 0. Тогда

Решение уравнения синус-Гордона - кинк ^[1] , описываемый уравнением

Кинк имеет не вполне обычную для солитона форму (рис. ?).

Величина

называется топологическим зарядом. Кинки с одинаковыми зарядами отталкиваются, а с противоположными притягиваются. Пара кинков с противоположными зарядами может образовать связанное пульсирующее состояние - бризер ^[2] .

сгенерировано за 0.027742147445679 сек.

назад | на главную | наверх