|
|
статистика |
Всего уникальных посетителей | 138490 |
Посетителей сегодня | 1 |
|
|
|
Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl+Enter |
|
Математическое моделирование в естественных науках >
Виртуальные лаборатории >
Нелинейные процессы (Java Applets) >
Параметрические колебания маятника >
Теоретическое введение
Что будет с колеблющейся системой, если ее параметры изменяются со временем и притом периодически? Представим себе, например, маятник с периодически меняющейся длиной или колебательный контур с периодически меняющейся емкостью. Другие параметры (индуктивность, коэффициент трения) также могут меняться периодически. В случае одной степени свободы уравнение имеет вид
, (1)
где p1(t) и p2(t) - периодические функции. Вопрос о том, как ведет себя интересующая нас система, сводится к исследованию, к интегрированию уравнения (1). Пусть у нас имеется конденсатор, емкость которого периодически меняется. Для простоты мы предположим, что периодическое изменение происходит по закону синуса или косинуса. Уравнение
(2)
справедливо и при переменной емкости C(t).
Будем менять периодически расстояние между пластинами плоского конденсатора. Тогда
. (3)
Пусть расстояние d меняется синусоидально:
,(4)
где р - частота изменения. Если подставить (3) и (4) в (2), то получится уравнение
, (5)
где.
Возьмем простой механический случай - прототип более сложных вещей. Масса m подвешена к упругому стержню. Она может колебаться в вертикальном направлении. Здесь уравнение движения будет
,(6)
где k зависит от длины и материала стержня и от его сечения.
Рис. 1
Если стержень (пусть это будет вал какой-нибудь машины) имеет эллиптическое сечение, то
, (7)
где q - угол поворота вала; d - постоянная. При подстановке (7) уравнение (6) принимает вид
. (8)
Пусть вал вращается с постоянной угловой скоростью p/2. Тогда
,
и (8) принимает вид
. (9)
Получается такое же уравнение, что и для только что рассмотренного контура с конденсатором переменной емкости.
В уравнениях (5) и (9) величины
,
играют роль квадрата частоты.
Обозначив
и
мы можем привести уравнения (5) и (9) к виду
.(10)
Это - частный случай уравнения (1); здесь, во-первых, p1(t) = 0 и, во-вторых, функция p2(t) синусоидальна.
Рассмотрим движение математического маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания по закону . Для маятника это равносильно тому, что сила тяжести меняется по гармоническому закону . При наличии затухания движение маятника описывается уравнением
.
Если обозначить глубину модуляции параметра , то
,
и уравнение движения примет вид:
.
Уравнение
,
где p(t) - периодическая функция, называется уравнением Хилла. Наше уравнение (10) есть случай уравнения Хилла.
Оно называется уравнением Матьё. Мы знаем, что решение уравнения (1) имеет вид
,
где C1 и С2 - произвольный постоянные; l1 и l2 - постоянные, определяемые самим уравнением; Ф1(t) и Ф2(t) - периодические функции периода .
Особенно важно знать, каковы l1 и l2.
Вообще говоря, они комплексны: l1 = a1 + ib1 , l2 = a2 + ib2 .
В зависимости от того, каковы значения параметров, входящих в уравнение, действительные части a1 и a2 могут быть отрицательными, равными нулю или положительными. Вообще говоря, l1 и l2 различны. В том специальном случае, когда они равны, имеется частное решение вида
,
где Ф(t) - периодическая функция периода .
То, что С1 и С2 входят в решение линейно, типично для линейных уравнений. Если x = 0 и при t = 0, то С1 = 0 и С2 = 0. В этом случае x остается равным нулю при любом t. Таким образом, здесь совершенно другое положение, чем при обычном резонансе: если система в начале была в равновесии, то она остается в равновесии и в дальнейшем.
Но что будет с системой, если в начальный момент она не находится в равновесии? Все зависит от того, каковы a1 и a2. Если обе эти величины отрицательны, то со временем амплитуда величины x убывает. При таком подборе значений параметров система совершает затухающее колебание.
Если l1,2 - чисто мнимые, то решения периодические или почти периодические.
Если величина a1 положительна, то (за исключением случая, когда С1 = 0 и a2 < 0) амплитуда величины x все больше и больше возрастает.Итак, положение равновесия всегда имеется, но равновесие может быть как устойчивым, так и неустойчивым. В последнем случае система, будучи выведена из состояния равновесия, автоматически себя раскачивает. Это свойство - рост колебаний - придает всему явлению характер резонанса. Мы говорим при этом о параметрическом возбуждении или о параметрическом резонансе.
При каких условиях наступает раскачивание, не так просто поддается вычислению. Физически дело сводится, грубо говоря, к следующему: возрастание колебаний происходит тогда, когда подобран правильный темп изменения параметра.
Возьмем конденсаторную цепь. Будем менять емкость скачками. Пусть в некоторый начальный момент имеется маленький заряд q = q0, а тока нет (). Раздвинем в этот момент пластины конденсатора. Мы затрачиваем на это некоторую работу. Через ¼ периода заряд обращается в нуль, и в этот момент мы сведем пластины до прежнего расстояния. При этом никакой работы не совершается. Через ½ периода после начала опять имеется заряд, и мы снова разводим пластины, совершая работу; через ¾ периода мы опять их сводим, и т. д. Затрачиваемая нами работа должна увеличить запас электромагнитной энергии в контуре. Отсюда видно, что если раздвигать и сдвигать пластины с периодом, вдвое меньшим, чем средний собственный период контура, то непременно наступает раскачивание. Это - частный случай, его трудно вполне точно осуществить на практике. Но здесь ясно, как и почему происходит раскачивание. Что будет в остальных случаях, <на пальцах> показать довольно трудно. На этот вопрос дает ответ график (рис. 2), построенный для уравнения (10).
рис 2 рис. 3
В заштрихованной части плоскости есть нарастание колебаний, в незаштрихованной части плоскости нарастания нет.
Пусть относительная амплитуда изменения параметров постоянна:
.
Будем менять только частоту изменения параметра p. Первая область нарастания колебаний соответствует частоте изменения параметров, приблизительно вдвое большей, чем частота собственных колебаний. Во второй области частота собственных колебаний и частота изменения параметров приблизительно равны. В третьей области частота p приблизительно в полтора раза меньше собственной и т. п. Таких областей нестабильности оказывается бесконечно много.
С увеличением относительной амплитуды изменения параметра ширина каждой области частот p, в которой происходит нарастание, увеличивается.
Итак, мы видим, что явление параметрического резонанса существенно отличается от обычного резонанса. Отличие состоит в том, что:
1. Если система находится строго в положении равновесия, то п
сгенерировано за 0.034397125244141 сек.
назад |
на главную |
наверх
|
Новости лаборатории |
2012-06-04
Текущие результаты 2012 года... подробнее
|
|